Skalarprodukt

Algebraische Form

Geometrische Form

Rechengesetze

Kommutativgesetz

Es gilt . Das lässt sich direkt aus der algebraischen Definition schließen, da . Das Skalarprodukt ist kommutativ.

Assoziativgesetz

Es gilt . Das Skalarprodukt produziert einen skalaren Wert. Wiederum multipliziert mit einem Vektor (Skalarmultiplikation), produziert somit einen weiteren Vektor in Richtung . Nach gleichem Prinzip produziert einen Vektor in Richtung . Sie sind nicht äquivalent; das Skalarprodukt ist nicht assoziativ.

Da die Klammerung die Deutung der Operationszeichen verfälscht () ist das Skalarprodukt weder linksassoziativ noch rechtsassoziativ; es erfordert immer explizite Klammern.

Distributivgesetz

Es gilt . Auch dass lässt sich direkt aus der algebraischen Definition schließen, da für jede Komponente gilt und sich die Summe über alle Komponenten entsprechend aufspalten lässt. Das Skalarprodukt ist distributiv über die Vektoraddition.

Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation (“Bilinearität”)

Es gilt , da für jede Komponente gilt.

Beweis der Äquivalenz¹

Das Skalarprodukt mit sich Selbst entspricht dem Betrag des Vektors im Quadrat:

Wir erkennen dass ; wir setzen ein.

Wir erkennen dass hier zwei Vektoren skalar multipliziert werden. Wir wissen (anhand der algebraischen Definition) dass das Skalarprodukt distributiv ist; wir multiplizieren aus.

Wir wissen das Skalarprodukt ist kommutativ:

Das Skalarprodukt ist [[#verträglichkeit-mit-der-skalarmultiplikation-bilinearität|verträglich mit der Skalarmultiplikation]]:

Wir erkennen das Binome auch für das Skalarprodukt gültig sind.

Wir erinnern uns and den Cosinussatz ():

Wir setzen gleich:

Wir formen um:

Wir haben anhand der algebraischen Definition die geometrische Definition hergeleitet; sie sind äquivalent.

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Referenz

• Summenzeichen
• Präzedenz in der Vektor Geometrie
• ¹Heidi Burgeil’s Proof