Kongruenzsätze

Seite-Seite-Seite (SSS)

Gegeben Seiten , , in einem allgemeinen Dreieck, ermittle einen beliebigen Winkel.

Dreieck Überprüfen

Es gilt zuerst zu überprüfen ob es sich um ein gültiges Dreieck handelt. Für ein gültiges Dreieck muss gelten:

Diese Bedingungen können mit folgendem Verfahren ermittelt werden: Bestimme die längste Seite:

Wir überprüfen .

Lösungsverfahren

Wir nutzen den Cosinussatz. Es wird die Form mit dem entsprechenden Winkel gewählt (hier ).

Seite-Winkel-Seite (SWS)

Gegeben zwei seiten und den von diesen eingeschlossenen Winkel ermittle verbleibende Seiten und Winkel.

Überprüfung des Dreiecks

Für den gegeben Winkel muss gelten .

Lösungsverfahren

Wir wenden den Cosinussatz an. Es wird die form mit dem entsprechenden Winkel (hier ) gewählt.

Im Anschluss können die Winkel mittels des Sinussatzes oder des Cosinussatzes ermittelt werden.

Sinussatz

Wir ermitteln Winkel :

Cosinussatz

Wir ermitteln Winkel :

Seite-Seite-Winkel (SSW)

Gegeben zwei Seiten und ein Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt, ermittle die verbleibende Seite und die verbleibenden Winkel.

Überprüfung des Dreiecks

Es gibt folgende Fallunterscheidungen:

Nicht auswendig lernen; verstehen (siehe unten)!

ist kleiner als . Die Seite ist kleiner als die Höhe. Es gibt keine Lösung.

ist kleiner als , Die Seite und die Höhe haben die selbe Höhe. Es gibt eine Lösung. ()

ist kleiner als . Die Seite ist länger als die Höhe, aber kürzer als Seite . Es gibt zwei Lösungen.

ist kleiner als . Die Seite ist gleich gross wie die Seite . Es gibt eine Lösung.

ist kleiner als . Die Seite ist gleich grösser als Seite . Es gibt eine Lösung. (Die letzten zwei Fälle wurden oben in Fall 4 zusammengefasst: “grösser gleich”)

ist . Die Seite ist grösser als Seite . Es gibt eine Lösung.

ist . Die Seite ist gleich oder kleiner Seite (Kein Dreieck!) Es gibt keine Lösung.

ist grösser als . Die “Seite ” ist gleich oder kleiner “Seite ” (nicht mehr das selbe Dreieck!) Es gibt keine Lösungen.

ist grösser als . Die Seite ist grösser als die Seite . Es gibt eine Lösung.

Lösungsverfahren

Wir verwenden den Sinussatz:

Durch Umformen können zuerst und/oder ermittelt werden:

Hier manifestiert sich die Mehrdeutigkeit. Arcusfunktionen haben zwei Lösungen (). Um die andere Lösung () zu bestimmen wird die Ausgangslösung () an der -Achse gespiegelt.

Anschließend kann die fehlende Seite () bestimmt werden:

Zwei-Winkel-Eine-Seite (WSW/WWS)

Überprüfung des Dreiecks

Lösungsverfahren

Anhand der zwei Winkel kann der dritte inferiert werden: Anschließend können mittels des Sinussatzes die restlichen seiten durch Umformung ermittelt werden.